Sistem Bilangan Rill & Himpunan

Sistem Bilangan Rill & Himpunan
Dari bagan tersebut diketahui bahwa himpunan bilangan riil terdiri atas himpunan bilangan-bilangan berikut ini.
1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut:
A = {1, 2, 3, 4, …}.
2. Himpunan Bilangan Cacah
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:
C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.
3. Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
4. Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:
Q= {p/ql p,q∈ B q ≠0}
5. Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: √2 , Ï€, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.
Himpunan bilangan riil adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional, yang dilambangkan dengan huruf R.
Bilangan Riil
Kenapa disebut bilangan riil? Karena sebelumnya bilangan riil belum memiliki nama, namun setelah bilangan imajiner dipelajari, barulah muncul nama bilangan riil (nyata). Himpunan bilangan riil ini dinotasikan dengan \mathbb{R}. Bilangan riil terbagi ke dalam dua bagian, yaitu bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan ke dalam bentuk \frac{p}{q} dengan q\neq 0, sedangkan bilangan yang tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk \frac{p}{q} disebut sebagai bilangan irasional, seperti bilangan \pi, konstanta e, \sqrt{2} dan lain sebagainya. Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan \mathbb{Q}, dan himpunan bilangan irasional dinotasikan dengan \mathbb{I}. Di dalam himpunan bilangan rasional juga terdapat himpunan bilangan bulat yang dinotasikan dengan \mathbb{Z}, contohnya
\cdot \cdot \cdot,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,\cdot \cdot \cdot
dan di dalam himpunan bilangan bulat terdapat himpunan bilangan asli yang dinotasikan dengan \mathbb{N}. Bilangan asli merupakan himpunan bilangan bulat positif tak nol, yakni
1,2,3,4,5,\cdot \cdot \cdot
Sistem bilangan riil adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner + (penjumlahan) dan \cdot(perkalian) yang memenuhi tiga aksioma berikut:
  1. Aksioma Lapangan, mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real.
  2. Aksioma Urutan, mengatur bilangan positif, negatif, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, persamaan, pertidaksamaan dan ketaksamaan.
  3. Aksioma Kelengkapan, mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus.
Sekarang kita akan membahas satu per satu dari sifat-sifat bilangan riil:
Sifat Aljabar. Operasi  penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan riil memenuhi sifat-sifat berikut:
  1.  a+b = b+a. (Sifat komutatif terhadap penjumlahan)
  2.  (a+b)+c = a+(b+c). (Sifat asosiatif terhadap penjumlahan)
  3.  Terdapat 0 di \mathbb{R} memenuhi a+0 = 0+a = a untuk  setiap a di \mathbb{R}. (Memiliki identitas terhadap penjumlahan)
  4.  Untuk setiap a di \mathbb{R} terdapat -a di \mathbb{R}  sehingga a+(-a) = (-a)+a = 0. (Memiliki invers terhadap  penjumlahan)
  5.  a.b = b.a. (Sifat komutatif terhadap perkalian)
  6.  (a.b).c = a.(b.c). (Sifat asosiatif terhadap perkalian)
  7.  Terdapat 1 di \mathbb{R} sehingga 1.a = a.1 = a untuk setiap  a di \mathbb{R}. (Memiliki identitas terhadap perkalian)
  8.  Untuk setiap a,”kecuali a=0″, di \mathbb{R} terdapat 1/a di \mathbb{R} sehingga a.1/a = 1/a. a = 1.  (Memiliki invers terhadap  perkalian)
  9.  a.(b+c) = a.b + a.c untuk setiap a, b, c di \mathbb{R}. (Sifat distributif)
Sifat-Sifat Urutan. Bilangan riil memenuhi sifat-sifat urutan sebagai berikut:
  • Trikotomi. Jika x dan y merupakan bilangan real, maka tepat satu di antara berikut ini yang berlaku:
x>y, x=y, atau x<y.
  • Ketransitifan. Jika x<y dan y<z  maka x<z.
  • Penjumlahan. x<y Jika dan hanya jika x+z < y+z.
  • Perkalian. Misalkan z>0, maka x<y jika dan hanya jika xz<yz, dan untuk z<0 maka x<y jika dan hanya jika xz>yz.
Sifat kelengkapan ini menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari yang terbatas di atas mempunyai batas atas terkecil atau kita sebut sebagai supremum, dan setiap himpunan bagian tak kosong dari \mathbb{R} yang terbatas di bawah mempunyai batas bawah terbesar atau kita sebut sebagai infimum. Pembahasan mengenai sifat kelengkapan bilangan riil akan kita pelajari lebih lanjut di matakuliah Pengantar Analisis Riil, jadi di sini kita hanya membahas sekilas saja

Komentar

Posting Komentar

Postingan Populer